giả sử a;b;c;d;A;B;C;D là những số nguyên dương và \(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}+\frac{d}{D}\). CMR:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
GIÚP MK VỚI, MK CẦN GẤP LẮM!
giả sử a;b;c;d;A;B;C;D là những số nguyên dương và \(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}+\frac{d}{D}\). CMR:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)
theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)
ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)
(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\left(k>0\right)\)
\(\Rightarrow a=Ak,b=Bk,c=Ck,d=Dk\)
Ta có:
* \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}\)
\(=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\left(A+B+C+D\right).\sqrt{k}\left(1\right)\)
* \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
\(=\sqrt{k.\left(A+B+C+D\right)^2}\)
\(=\sqrt{k}.\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
(Chúc bạn học tốt và k cho mình với nhé!)
Giả sử a,b,c,d và A,B,C,D là những số dương và:
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
CMR :
\(\sqrt{\text{Aa}}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{\text{dD}}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=\frac{a+b+c+d}{A+B+C+D}\)
\(\Rightarrow A.a=\frac{A^2\left(a+b+c+d\right)}{A+B+C+D}\Rightarrow\sqrt{Aa}=\frac{A\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{Bb}=\frac{B\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Cc}=\frac{C\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Dd}=\frac{D\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\frac{\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\left(A+B+C+D\right)=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Làm cách này chắt đuoc
Ap dung BDT Bun-nhi-a-cop-xki ta co:
\(\left(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\right)^2\le\left(A+B+C+D\right)\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\le\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)Dau '=' xay ra khi \(\frac{A}{a}=\frac{B}{b}=\frac{C}{c}=\frac{D}{d}\)hay \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Ma theo gia thuyet cua de bai thi:
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Nen dang thuc tren ton tai voi \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
Cho a,b,c,d và A,B,C,D là các số dương thỏa \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
C/m \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\)\(\left(k>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a=Ak;b=Bk;c=Ck;d=Dk\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=A\sqrt{k}+B\sqrt{k}+C\sqrt{k}+D\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(Ak+Bk+Ck+Dk\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)
=> đpcm
Cho a,b,c,d,A,B,C,D là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}\)
CMR \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Giúp mình với các cao nhân
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:
\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)
\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)
Do đó:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)
Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m
Bài 1;Cho x,y thoã mãn 0<x<1 ; 0<y<1 và \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)tính P=\(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
Bài 2 : Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Bài 3 cho các số a,b,c,d dương thoã mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)Chứng minh rằng \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Cho a,b,c,d và A,B,C,D là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\). Chứng minh \(\sqrt{a.A}+\sqrt{b.B}+\sqrt{c.C}+\sqrt{d.D}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
cho 4 số thực a,b,c,d tm a+b+c+d=4
cmr \(\frac{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{\left(b+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{\left(d+\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\le16\)
Chứng minh rằng nếu: \(\dfrac{A}{a}=\dfrac{B}{b}=\dfrac{C}{c}=\dfrac{D}{d}\)(a,b,c,d,A,B,C,D>0) thì\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)